Probleme reprezentative. Idei, metode, tehnici de rezolvare

 

    Probleme reprezentative. Idei, metode, tehnici de rezolvare

             

1. Fixați două puncte, A și B, și aflați câte drepte care să treacă prin cele două puncte puteți construi.
   Distingem două cazuri:
   I. Dacă cele două puncte coincid, putem construi o infinitate de drepte distincte: d₁, d₂, d₃, …, d_n .
   II. Dacă cele două puncte sunt distincte, în conformitate cu axioma dreptei, putem construi o singură dreaptă: dreapta AB.
2. 

   Se consideră 10 puncte distincte, două câte două.
   Care este numărul minim de drepte determinate de cele 10 puncte?
   Rezolvare:
   Fie A₁, A₂, A₃, …, A₁₀ cele 10 de puncte distincte, două câte două.
   Cele 10 puncte distincte determină o singură dreaptă, dacă sunt coliniare.
3. Se consideră 10 puncte distincte, două câte două.
   Care este numărul maxim de drepte determinate de cele 10 puncte?
   Rezolvare:
   Pot fi construite drepte al căror număr este maxim atunci când oricare trei puncte dintre cele 10 sunt necoliniare.
   Pentru a stabili numărul dreptelor, dispunem de cele două procedee prezentate în cele ce urmează.

I. Fixăm punctul A₁. El determină cu celelalte nouă puncte, 9 drepte.
Apoi fixând, pe rând, A₂, A₃, A₄, …, A₁₀ , în fiecare caz, punctul fixat va determina cu celelalte
nouă puncte, 9 drepte.
Deoarece în 10 moduri vom pune în evidență câte 9 drepte, s‑ar părea, că s‑au format
10 ⋅ 9 = 90 de drepte.
Ținând cont că: A₁ A₂ = A₂ A₁ ; A₁ A₃ = A₃ A₁ ; A₁ A₄ = A₄ A₁ ; … ; A₉ A₁₀ = A₁₀ A₉ , deducem că fiecare dreaptă a fost numărată de două ori și atunci cele 10 puncte determină
90 : 2 = 45 de drepte distincte, două câte două.
II. Fixăm punctul A₁. Cu el se determină 9 drepte distincte: A1A2 ; A1A3 ; A1A4 ; … ; A1A10 .
Fixăm punctul A₂. Cu el se determină alte 8 drepte distincte: A₂A₃ ; A₂A₄ ; A₂A₅ ; … ; A₂A₁₀ .

...........................................................................................................................................

Fixăm punctul A₉. El mai determină o singură dreaptă (distinctă) cu punctul
A₁₀ : dreapta A₉A₁₀.

Am obținut astfel: 1 + 2 + 3 + … + 9 = 9 ⋅ 10 : 2 = 45 de drepte distincte.

                                 

Sursă : https://cdn.manualedigitaleart.ro/art5-matematica/v1/#book/u6-p174-175